Chào mừng kỉ niệm 67 năm Cách mạng tháng Tám và Quốc khánh 2/9/1945 - 2/9/2012

DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ : VÀ
Dạng 1: Tìm các điểm thuộc đồ thị có toạ độ là các số nguyên
Ví dụ 1:
Cho hàm số có đồ thị (H). Tìm các điểm trên (H) có toạ độ là các số nguyên.
Giải :
Ta có Điểm M(x;y) ( (H) với x, y thuộc Z
( x + 1 là ước số của 4
Vậy trên (H) có 6 điểm có tọa độ là các số nguyên : (0;-1), (–2;7), (1;1), (–3;5), (3;2), (–5;4)
Ví dụ 2:
Cho hàm số có đồ thị (H). Tìm các điểm trên (H) có toạ độ là các số nguyên.
Giải :
Bước 1: phân tích
Bước 2: Điểm M(x;y) ((H) với x, y ( Z
( Z x – 1 là ước số của 2
Vậy trên (H) có 4 điểm có toạ độ là các số nguyên: (3;3), (–1;1), (2;1), (0;3).
(Chú ý:
Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến một lớp các hàm số sao cho khi phân tích ở bước 1 có dạng và trong đó là các số nguyên.
Dạng 2 : Các bài toán liên quan đến khoảng cách
Trong dạng này ta xét 2 dạng toán:
1/ Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị hàm số đến 2 tiệm cận là một hằng số
2/ Tìm điểm trên đồ thị hàm số sao cho có tổng khoảng cách từ đó đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
3/ Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị có khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất
Ví dụ 3 : Cho hàm số có đồ thị (H).
Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc (H) đến 2 tiệm cận của (H) là một hằng số.
Tìm điểm thuộc (H) sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
Giải :
a) Bước 1: Xác định phương trình các đường tiệm cận.
Ta có và lần lượt là tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của (H).
Bước 2:
;
Suy ra :
b) Bước 1: Xác định phương trình các đường tiệm cận. (tương tự Bước 1 trong câu a)
Bước 2: Tìm các cách từ M đến hai tiệm cận (tương tự câu a)
Từ câu a) ta có :
d1 + d2 = + Đẳng thức xảy ra khi
Vậy trên (H) có hai điểm thỏa :
Ví dụ 4 : Cho hàm số có đồ thị (H).
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc (H) đến 2 tiệm cận là một hằng số.
Tìm điểm thuộc (H) sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
Giải :
a)
Tiệm cận đứng 1 ): x + 1 = 0 ; tiệm cận xiên 2 ): y = 3x – 1
M(x0;y0) ((H) (x0 ≠ –1)
d1 = d(M0, =
: const
b) từ câu a) ta có :
(áp dụng bđt Cauchy cho 2 số)
Dấu “=” xảy ra
Vậy trên (H) có 2 điểm thoả đề bài là

Ví dụ 5 : Cho hàm số có đồ thị (H). Tìm 2 điểm trên hai nhánh của (H) có khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Giải :
Ta có Gọi hai điểm lần lượt trên hai nhánh là và với a, b là các số dương (xA = 1 – a ; xB = 1 + b khác 1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy A(0;2) , B(2;0)
Dạng 3 : Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến
Trong dạng này ta xét 3 dạng toán thông qua 3 ví dụ sau.
Ví dụ 6: Cho hàm số có đồ thị (H). Chứng minh rằng trên (H) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại các điểm đó song song với nhau.
Giải :
Bước 1: xác định
Bước 2:
là các số thực dương, gọi M, M’ là hai điểm thuộc đồ thị (H) sao cho
(xM, xM’ thuộc tập D). Ta có :

Tiếp tuyến của (H) tại M